Octave Bands

 

Octave,即倍频程,在电子工程中指频率加倍或减半。词源来自于西方音阶通俗说法,1octave 表示音高八度,也就是频率加倍。比如,10Hz20Hz20Hz 40Hz10kHz 20kHz,我们都可以称它们之间相差 1octave

与表示 10 倍关系的 decade 一样,表示 2 倍关系的 octave 也常用于表示频率范围或频率之间的关系。

 

Octave的数学定义


 

根据octave的介绍,两个频率间相差的octave的值由下列计算公式得出:

octave_def

例如:

4KHz13kHz,可以称它们之间相差:1.7oct

 

 

dB/octave 和 dB/decade


 

根据定义:

oct_dec

则:

oct_dec_convert

即:

oct_dec_eq

例如:

功放或滤波器的在某频带内的频响为 ±6 dB/octave,等价于 3.32*6 即 ±20 dB/decade

 

Octave Bands


 

在声学领域,声音的频带划分常以 octave 或 N octave 的方式,而非等频率间隔方式(Narrow Frequency Bands)表示。这种表示法与人耳对不同频率声音的感知度有关(感受随频率对数级变化,而非线性变化),而且有助于在坐标轴上简缩数据(方便处理)。

设 N octave Bands 的每个频带范围(Bands):

freq_range

N octave Bands 的数学定义为:

oct_def_n1

其中:

  1.  N,取任意正数(f2 > f1
  2.  f0 为的中心频率(Middle Freq),f2 和 f1 分别为频带的上频点(Upper Freq)和下频点(Lower Freq
  3. 不论 N 取值,f1 和 f2 分与 f0 均存在以下关系:

f0f1f2

在确定 N octave bands 各子频带的范围之前,首先要确定各子频带的中心频率 f0 。中心频率确定好后,再由以上公式计算出每个子频带的上频点 f2 和下频点 f1 

举例:

  • 对于2 octave bandsN = 2

oct_2

  • 对于 octave bandsN = 1

oct_1

  • 对于1/3 octave bandsN = 1/3

oct_1_3

  • 对于1/n octave bandsN = 1/n

oct_n

在声学领域,中心参考频率为1000Hz(Base Frequency)。即不论以 octave 1/n octave 等其它频带划分法,均以1000Hz为基准往频率两端(20Hz 和 20kHz)确定各子频带中心频率点,再根据以上公式计算出每个子频带的范围(Upper Freq & Lower Freq)。

综合以上分析,声音的频率范围(20~20kHz),可以分割为:

 

10oct

 

  • 如果采用1 octave bands,可以划分为10 ÷ 1 = 10 +1, 11个频带
  • 如果采用1/2 octave bands,可以划分为10 ÷ 1/2 = 20 +1, 21个频带
  • 如果采用1/3 octave bands ,可以划分为10 ÷ 1/3 = 30 +1, 31 个频带
  • 如果采用1/6 octave bands ,可以划分为10 ÷ 1/6 = 60 +1, 61 个频带

以此类推,使用 1/n octave bands,可以将声音频率范围大致分为 10n + 1 个子频带。

表1列举的是分别以 octave bands 1/3 octave bands 所划分音频范围所对应的中心频率、上频点和下频点。

oct_freq_range

表1. Octave Bands 和 1/3 Octave Bands频率范围

 

Bandwidth(oct) vs Q


 

带宽(Bandwidth)即功率降至一半所对应的频率范围,如下图1所示,带宽即:

bw_def

bpf_para

图1. 带宽的定义

带宽有不同的表示形式,比如用频率(Hz)表示,或者 decades,或者 octaves 。在音频应用中,最常见以 octaves 表示带宽(BW = N octave)。

综合上文 N octave bands 的定义,设 N octave bands 上下频点分别对应带宽(子频带带通)。因为:

bw_n

由Q值的定义,计算Q:

f1f2_a

q_eq

即,对于以 N octave bands 划分的频率范围,每个子频带的 值是恒定的,其百分比带宽(Percent Bandwidth) %BW  也是恒定的。根据这个特点设计的Octave Bands Filter(Constant-Q)滤波器,在RTA设备中有广泛应用。百分比带宽的定义如下:


bw_per_a

举例:

  • 对于Octave Bands,Q = 1.414, %BW = 70.711%
  • 对于1/2 Octave Bands,Q = 2.871, %BW = 34.831%
  • 对于1/3 Octave Bands,Q = 4.319, %BW = 23.156%

通过链接工具,可以快速计算 Bandwidth(oct)Q 的对应关系。

 

Octave Bands Filter


 

1. Octave Band Filter

简单地说,就是中心频率分别为31.5Hz , 63Hz , 125Hz , 250Hz , 500Hz , 1kHz , 2kHz , 4kHz , 8kHz and 16kHz(如表1所示)的带通滤波器。图2表示Octave Band Filter的频响曲线,可以看到,它相当于10个带通滤波器。

oct_filter

图2. Octave-Band带通滤波器

 

2. 1/3 Octave Band Filter

简单地说,就是中心频率为12.5 Hz, 16 Hz, 20 Hz, 25 Hz, 31.5 Hz, 40 Hz, 50 Hz, 63 Hz, 80 Hz, 100 Hz, 125 Hz, 160 Hz, 200 Hz, 250 Hz, 315 Hz, 400 Hz, 500 Hz, 630 Hz, 800 Hz, 1 kHz, 1.25 kHz, 1.6 kHz, 2 kHz, 2.5 kHz, 3.15 kHz, 4 kHz, 5 kHz, 6.3 kHz, 8 kHz, 10 kHz, 12.5 kHz, 16 kHz(如表1所示)的带通滤波器。图3表示1/3 Octave Band Filter的频响曲线,可以看到,它相当于30个带通滤波器,相比于Octave Band Filter更加精确。

3rd_oct_filter

图3. 1/3 Octave-Band带通滤波器

在美标ANSI S.11中,规定有三种类型(等级)Octave Bands滤波器:Class 0, Class 1, Class 2。Class 0允许通带(Passband)内有 ±0.15dB 的误差(Ripple),Class 1允许 ±0.3dB 的误差,Class 2允许 ±0.5dB 的误差。阻带(Stopband)根据滤波器不同由 60dB ~ 75dB 不等。

Octave Band Filter可分为实时滤波器(Real Time Filter)和串行滤波器(Serial Filter)。

  • 实时滤波器,由多个中心频率不同的带通滤波器组成阵列(Banks),可以同时处理所有频带信号。该类型滤波器的优点是分析速度快,在测量过程中不会丢失信息(由于是实时的)
  • 串行滤波器,通常由电路控制单个带通滤波器工作于不同中心频率点,带通的中心频率自动由31.5Hz扫描直至16kHz。该类型滤波器在功耗和成本上有优势,但速度慢,且不能实时侦测全频带范围内Noise的分布状况。

 

补充:

Octave Step扫频文件


 

以Audio Precision的波形发生工具APx Waveform Generator Utility为例,其生成的Frequency Sweep文件分:

第一组

  • Frequency Sweep (1/1 oct, 0 dB)
  • Frequency Sweep (1/3 oct, 0 dB)
  • Frequency Sweep (1/6 oct, 0 dB)

第二组

  • Frequency Sweep (1/1 oct, 0 dB, slow)
  • Frequency Sweep (1/3 oct, 0 dB, slow)
  • Frequency Sweep (1/6 oct, 0 dB, slow)

使用Audacity对以上生成的文件进行分析,以上每个*.wav文件的前 5s 均为标准 1kHz 正弦波。整段音频的信号幅度均为0 dBFS

 

首先看第一组 3个文件:

对于Frequency Sweep (1/1 oct, 0 dB),其时域声谱图4说明它将 5~20s 分成 11 段区域,频率分别为20Hz, 40Hz, 80Hz, ..., 20kHz,共11个频点,每个频率播放持续时间 1~3s 不等。

1oct_freq_sw_slow

图4. Frequency Sweep (1/1 oct, 0 dB)声谱图

对于Frequency Sweep (1/3 oct, 0 dB),其时域声谱图5说明它将 5~44s 分成 21 段区域,频率分别为20Hz, 25Hz, 31.5Hz, ..., 20kHz,共31个频点,每个频率播放持续时间 1~3s 不等。

1_3_oct_freq_sw

图5. Frequency Sweep (1/3 oct, 0 dB)声谱图

对于Frequency Sweep (1/6 oct, 0 dB),其时域声谱图6说明它将 5~80s 分成 61 段区域,频率分别为20Hz, 22.4Hz, 25Hz, ..., 20kHz,共61个频点,每个频率播放持续时间 1~3s 不等。

1_6_oct_freq_sw

图6. Frequency Sweep (1/6 oct, 0 dB)声谱图

 

以上频点如何快速查出,移步链接工具,设置起始频率、截至频率和步进(Octave Intervals)后,工具自动计算得到不同设置下对应的中心频率和频子频带范围。

注:APx Waveform Generator Utility生成的 1/1 oct 扫频文件,各子频带中心频率是从 20Hz 开始,依次增加(1 octave)直至 20kHz ,而不是表1中规定的标准 octave bands 中心频点(16Hz, 31.5Hz, ...)。这可能与配合该扫频文件使用设备的滤波器中心频点设置有关。

 

再看第二组 3个文件:

Frequency Sweep (1/1 oct, 0 dB, slow),其时域声谱图7说明它将 5~38分成 11 段区域,频率分别为20Hz, 40Hz, 80Hz, ..., 20kHz,共11个频点,每个频率播放持续时间 2~3s 不等。相比于Frequency Sweep (1/1 oct, 0 dB) 而言,只不过它的每个频点最短持续时间由 1s 提高到 2。其它两个文件也是如此。

1oct_freq_sw_slow

图7. Frequency Sweep (1/1 oct, 0 dB, slow)声谱图

 

以上,仅从直观上说明 octave 在音频领域应用所代表的意义。除了扫频文件,在测试频响和调节 Equalization 时更常见使用白噪声(White Noise)和粉红噪声(Pink Noise),关于噪声在音频测试中的应用,将在另文介绍。

 

 

参考资料


 

1. Octave (electronics) -Wikipedia

2. Octave and one-third octave frequency bands -Acoustical Porous Material Recipes

3. Center Frequencies and High/Low Frequency Limits for Octave Bands -The Physics of Music/Musical Instruments

4. Octave-Band and Fractional Octave-Band Filters -Mathworks

5. ANSI S1.11: Specification for Octave, Half-Octave, and Third Octave Band Filters -ANSI

6. Bandwidth in Octaves Versus Q in Bandpass Filters -Rane Note

 

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“Real generosity towards the future lies in giving all to the present.” ― Albert Camus

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